Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Bemerkung

Eine Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

ist genau dann affin-linear mit linearem Anteil ${}\varphi$, wenn das Diagramm

${\begin{matrix}V\times E&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&E&\\\!\!\!\!\!\varphi \times \psi \downarrow &&\downarrow \psi \!\!\!\!\!&\\W\times F&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&F&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Zu einer affin-linearen Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

ist der lineare Anteil (bei $E\neq \emptyset$)

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eindeutig bestimmt. Es ist nämlich notwendigerweise

${}\varphi (v)={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$

für einen beliebigen Punkt ${}P\in E$. Daher bezeichnen wir den linearen Anteil mit ${}\psi _{0}$. Für zwei Punkte ${}P,Q\in E$ gilt insbesondere

${}\psi _{0}({\overrightarrow {PQ}})={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\,.$