Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/1/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${}{\begin{pmatrix}-2\\5\\4\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen ${}\left(5,\,2,\,0\right)$ und ${}\left(0,\,4,\,-5\right)$. Daher machen wir den Ansatz

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5x+2y+a\\4y-5z+b\end{pmatrix}}\,.$

Für den Aufpunkt ${}{\begin{pmatrix}6\\2\\3\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung

${}\psi {\begin{pmatrix}6\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}34+a\\-7+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,,$

also ist ${}a=-33$ und ${}b=7$. Somit ist

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5x+2y-33\\4y-5z+7\end{pmatrix}}\,$

eine affine Abbildung mit Urbild über ${}(1,0)$ wie gewünscht.

Zur gelösten Aufgabe