Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/2/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${}{\begin{pmatrix}5\\-10\\2\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen ${}\left(2,\,1,\,0\right)$ und ${}\left(0,\,1,\,5\right)$. Daher machen wir den Ansatz

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x+y+a\\y+5z+b\end{pmatrix}}\,.$

Für den Aufpunkt ${}{\begin{pmatrix}-4\\12\\5\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung

${}\psi {\begin{pmatrix}-4\\12\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4+a\\37+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\,,$

also ist ${}a=-5$ und ${}b=-34$. Somit ist

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x+y-5\\y+5z-34\end{pmatrix}}\,$

die gesuchte affine Abbildung.

Zur gelösten Aufgabe