Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/3/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${}{\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen ${}\left(1,\,-1,\,0\right)$ und ${}\left(0,\,1,\,-3\right)$. Daher machen wir den Ansatz

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y+a\\y-3z+b\end{pmatrix}}\,.$

Für den Aufpunkt ${}{\begin{pmatrix}-1\\5\\2\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung

${}\psi {\begin{pmatrix}-1\\5\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6+a\\-1+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,,$

also ist ${}a=7$ und ${}b=1$. Somit ist

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y+7\\y-3z+1\end{pmatrix}}\,$

eine affine Abbildung mit Urbild über 1 wie gewünscht.

Zur gelösten Aufgabe