Affiner Raum/Affine Gerade/Beschreibung als Urbild/5/Aufgabe/Lösung

Der Richtungsvektor ${}{\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}}$ gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen ${}\left(2,\,1,\,0\right)$ und ${}\left(0,\,2,\,-1\right)$. Daher machen wir den Ansatz

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x+y+a\\2y-z+b\end{pmatrix}}\,.$

Für den Aufpunkt ${}{\begin{pmatrix}1\\7\\2\end{pmatrix}}$ ergibt sich die Bedingung

${}\psi {\begin{pmatrix}1\\7\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9+a\\12+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,,$

also ist ${}a=-8$ und ${}b=-12$. Somit ist

${}\psi {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x+y-8\\2y-z-12\end{pmatrix}}\,$

eine affine Abbildung mit Urbild über 1 wie gewünscht.

Zur gelösten Aufgabe