Affiner Raum/Endliche Punktmenge/Baryzentrische Kombinationen/Baryzentrische Kombination/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten

${}\sum _{j=1}^{k}b_{j}Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}P_{i}\,$

mit

${}c_{i}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}a_{ij}\,.$

Zunächst ist

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}c_{i}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{k}b_{j}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}{\left(\sum _{i=1}^{n}b_{j}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{k}b_{j}\\&=1,\end{aligned}}$

es liegt also wirklich eine baryzentrische Kombination vor.

Es sei ${}R$ ein beliebiger Startpunkt zur Realisierung der baryzentrischen Kombinationen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{k}b_{j}Q_{j}&=R+\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\overrightarrow {RQ_{j}}}\\&=R+\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\overrightarrow {R{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}P_{i}\right)}}}\\&=R+\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\overrightarrow {R{\left(R+\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RP_{i}}}\right)}}}\\&=R+\sum _{j=1}^{k}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\overrightarrow {RP_{i}}}\right)}\\&=R+\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{k}b_{j}a_{ij}\right)}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=R+\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\overrightarrow {RP_{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}P_{i}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe