Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt und basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es sei

   $\psi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto X_{i}^{q},$

   der angegebene ${}K$-Algebrahomomorphismus. Ein Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ mit Koordinaten aus ${}L$ zu einer beliebigen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist als ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow L,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$

   aufzufassen. Die Verknüpfung mit dem algebraischen Frobenius-Homomorphismus ist durch ${}X_{i}\mapsto X_{i}^{q}\mapsto a_{i}^{q}$ gegeben, was dem ${}L$-Punkt des affinen Raumes mit den Koordinaten

   ${}(\psi (a_{1}),\ldots ,\psi (a_{n}))=(a_{1}^{q},\ldots ,a_{n}^{q})\,$

   entspricht.

2. 2. wurde in 1 mitbewiesen.
3. 3 folgt aus 2 und Fakt.
4. Es genügt die entsprechende Aussage für jedes ${}f\in {\mathfrak {a}}$ zu zeigen. Aus ${}P\in V(f)$ folgt generell, dass der Bildpunkt zu ${}V(\psi (f))$ gehört, und wegen ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist ${}\psi (f)=f^{q}$ und somit ${}V(f)=V(f^{q})=V(\psi (f))$.

Zur bewiesenen Aussage