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Affiner Raum/Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Aufgabe/Lösung
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Affiner Raum/Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Aufgabe
Es ist
d
(
P
,
Q
)
=
‖
P
Q
→
‖
=
0
{\displaystyle {}d{\left(P,Q\right)}=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert =0}
genau dann, wenn
P
Q
→
=
0
{\displaystyle {}{\overrightarrow {PQ}}=0}
, also
P
=
Q
{\displaystyle {}P=Q}
ist.
Es ist
d
(
P
,
Q
)
=
‖
P
Q
→
‖
=
‖
−
Q
P
→
‖
=
|
−
1
|
⋅
‖
Q
P
→
‖
=
d
(
Q
,
P
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(P,Q\right)}&=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \\&=\Vert {-{\overrightarrow {QP}}}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {\overrightarrow {QP}}\Vert \\&=d{\left(Q,P\right)}.\end{aligned}}}
Für einen beliebigen Punkt
R
∈
E
{\displaystyle {}R\in E}
ist nach der Definition einer Norm
d
(
P
,
Q
)
=
‖
Q
P
→
‖
=
‖
Q
R
→
+
R
P
→
‖
≤
‖
Q
R
→
‖
+
‖
R
P
→
‖
=
d
(
Q
,
R
)
+
d
(
R
,
P
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(P,Q\right)}&=\Vert {\overrightarrow {QP}}\Vert \\&=\Vert {{\overrightarrow {QR}}+{\overrightarrow {RP}}}\Vert \\&\leq \Vert {\overrightarrow {QR}}\Vert +\Vert {\overrightarrow {RP}}\Vert \\&=d{\left(Q,R\right)}+d{\left(R,P\right)}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe