Affiner Raum/Produkt mit K/Standardraum/Basis/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Wir betrachten die Menge

${}E={\left\{(v,1)\mid v\in V\right\}}\subset V\times K\,,$

die ein affiner Raum über ${}V$ ist.

a) Zeige, dass die Punkte

$P_{i}=(v_{i},1),\,i=1,\ldots ,n,$

genau dann eine affine Basis von ${}E$ bilden, wenn die ${}P_{i}$ (aufgefasst als Vektoren in ${}V\times K$) eine Vektorraumbasis von ${}V\times K$ bilden.

b) Zeige, dass in diesem Fall zu einem Punkt ${}P\in E$ die baryzentrischen Koordinaten von ${}P$ bezüglich ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ gleich den Koordinaten von ${}P$ bezüglich der Vektorraumbasis ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ ist.

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