Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt/Beweis

Beweis

Die Inklusion ${}T\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$ wurde in Fakt  (1) gezeigt. Da ${}V(\operatorname {Id} \,(T))$ nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus ${}{\overline {T}}\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$.

Es sei umgekehrt ${}P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$ und sei ${}P\not \in {\overline {T}}$ angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge ${}U$ gibt mit ${}P\in U$ und ${}U\cap T=\emptyset$. Es sei ${}U=D({\mathfrak {a}})$. Die Bedingung ${}P\in U$ bedeutet, dass es ein ${}G\in {\mathfrak {a}}$ geben muss mit ${}G(P)\neq 0$. Es ist dann ${}P\in D(G)\subseteq U$ und damit ${}T\cap D(G)=\emptyset$. Also ist ${}T\subseteq V(G)$ und somit ${}G\in \operatorname {Id} \,(T)$. Wegen ${}G(P)\neq 0$ ergibt sich ein Widerspruch zu ${}P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$.

Zur bewiesenen Aussage