Einleitung

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Diese Seite zum Thema der affinen Unterräume kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

  • (1) Zusammenhang zum Untervektorraum
  • (2) Bezug zu Lösungsmengen inhomogener linearer Gleichungssysteme
  • (3) Anwendungen von affinen Unterräumen

Lernvoraussetzungen

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Die Lernressource zum Thema Affiner Unterraum hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

Inhaltliche Zielsetzung

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Diese Lernressource behandelt einen affinen Unterraum eines Vektorraums.

In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge, die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht. Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein affiner Raum im Sinne der analytischen Geometrie.

Veranschaulichung

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Die folgende Abbildung zeigt eine Ebene im dreidimensionalen  -Vektorraum. Die blau markierte Ebene ist ein affiner Unterraum, der durch Verschiebung eines Untervektorraumes als Ursprungsebene um einen Stützvektor (rot) entsteht.  


Bemerkung

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Zu affinen Unterräumen eines affinen Punktraums siehe Definition eines affinen Raum.

Definition- Affiner Unterraum

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Eine Teilmenge   eines Vektorraums   heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor   aus   und einen Untervektorraum   von   gibt, sodass

 

gilt. In diesem Fall heißt   auch Stützvektor von   und   der   zugeordnete lineare Unterraum (der Verbindungsvektoren).

Eindeutigkeit des Untervektorraumes

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  ist durch   eindeutig bestimmt. Alle   mit   sind Stützvektoren von   (d.h.  . Die Dimension von   ist die Dimension von  .

Eindimensionaler Fall

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Ein eindimensionaler affiner Unterraum heißt affine Gerade. Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heißt affine Ebene.


Definition - Hyperebene

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Hat der zu einem affinen Unterraum   gehörige lineare Unterraum   die Kodimension  , so nennt man   eine affine Hyperebene.

Leere Menge - analytische Geometrie

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In der analytischen Geometrie wird gelegentlich auch die leere Menge als affiner Unterraum bezeichnet. Sie hat dann als affiner Raum die Dimension   und ihr ist kein linearer Unterraum zugeordnet, da ein Untervektoräume   nie leer ist und zumindest dn Nullvektor enthält.

Anschauliche Betrachtung

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Als Untervektorraum   werde eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Vektorraum   gewählt, für die gilt:

 

  ist hier  -Achse mit  

Stützvektor

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Als Stützvektor wird   mit

 

gewählt.

Eindimensionaler affiner Unterraum

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Dann ist der affine Unterraum   eine Gerade, die um   (also um eine Einheit in  -Richtung) verschoben ist, mit der Gleichung:

  mit  

Verschiebung eines Untervektorraumes

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Die auf diese Weise entstehende verschobene Gerade ist ein affiner Unterraum, aber kein Untervektorraum von  , da sie den Nullvektor nicht enthält.

Aufgaben

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  • Sei   eine Sei  -Matrix über dem Körper  . Zeigen Sie, dass die nicht-leere Lösungsmenge   eines inhomogene linearen Gleichungssystems   mit   eine affiner Unterraum vom   ist.
  • Auf einem Vektorraum   ein Skalarprodukt  , ein Skalar   und ein Vektor   gegeben, Zeigen Sie, dass die Menge
 
ein affiner Unterraum von  , der kein Untervektorraum von   ist. Geben Sie einen Stützvektor   und einen Untervektorraum  , für den   gilt.

Dimensionsformel für affine Unterräume

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Sei   ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper   und seien   zwei affine Unterräume von  .

Dimensionsformle für den Verbindungsraum

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In beiden Fällen der folgenden Dimensionsformeln steht   für den Verbindungsraum oder die affine Hülle von   und   mit:

Nicht disjunkter Fall der Dimensionsformel

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Für den Fall, dass   und   nicht disjunkt ist, gilt die Dimensionsformel:

 

Der nicht disjunkte Fall gilt ebenfalls unter der Bedingung, dass einer der beiden Räume leer.


Disjunkter Fall der Dimensionsformel

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Falls   und   jedoch disjunkt und nichtleer sind, lautet die Dimensionsformel

 

wobei   aus der Darstellung   (mit festem   und dem zugeordneten linearen Unterraum   von  ) erhalten wird. Analog erhält man   mit   für ein festes  .

Eigenschaften

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Da in der Definition eines affinen Unterraums auch   gewählt werden kann, ist jeder Untervektorraum gleichzeitig affiner Unterraum. Ein affiner Unterraum ist genau dann ein Untervektorraum, wenn er den Nullvektor enthält.

Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in   Variablen über dem Körper   ist ein affiner Unterraum von  , falls die Lösungsmenge nicht leer ist. Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden. Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hülle von Vektoren oder, wie direkt aus der Definition folgt, mit Hilfe eines Stützvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden.

Literatur

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Siehe auch

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Seiteninformation

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