Affiner Unterraum
Einleitung
BearbeitenDiese Seite zum Thema der affinen Unterräume kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
- (1) Zusammenhang zum Untervektorraum
- (2) Bezug zu Lösungsmengen inhomogener linearer Gleichungssysteme
- (3) Anwendungen von affinen Unterräumen
Lernvoraussetzungen
BearbeitenDie Lernressource zum Thema Affiner Unterraum hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.
Inhaltliche Zielsetzung
BearbeitenDiese Lernressource behandelt einen affinen Unterraum eines Vektorraums.
In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge, die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht. Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein affiner Raum im Sinne der analytischen Geometrie.
Veranschaulichung
BearbeitenDie folgende Abbildung zeigt eine Ebene im dreidimensionalen -Vektorraum. Die blau markierte Ebene ist ein affiner Unterraum, der durch Verschiebung eines Untervektorraumes als Ursprungsebene um einen Stützvektor (rot) entsteht.
Bemerkung
BearbeitenZu affinen Unterräumen eines affinen Punktraums siehe Definition eines affinen Raum.
Definition- Affiner Unterraum
BearbeitenEine Teilmenge eines Vektorraums heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor aus und einen Untervektorraum von gibt, sodass
gilt. In diesem Fall heißt auch Stützvektor von und der zugeordnete lineare Unterraum (der Verbindungsvektoren).
Eindeutigkeit des Untervektorraumes
Bearbeitenist durch eindeutig bestimmt. Alle mit sind Stützvektoren von (d.h. . Die Dimension von ist die Dimension von .
Eindimensionaler Fall
BearbeitenEin eindimensionaler affiner Unterraum heißt affine Gerade. Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heißt affine Ebene.
Definition - Hyperebene
BearbeitenHat der zu einem affinen Unterraum gehörige lineare Unterraum die Kodimension , so nennt man eine affine Hyperebene.
Leere Menge - analytische Geometrie
BearbeitenIn der analytischen Geometrie wird gelegentlich auch die leere Menge als affiner Unterraum bezeichnet. Sie hat dann als affiner Raum die Dimension und ihr ist kein linearer Unterraum zugeordnet, da ein Untervektoräume nie leer ist und zumindest dn Nullvektor enthält.
Anschauliche Betrachtung
BearbeitenAls Untervektorraum werde eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Vektorraum gewählt, für die gilt:
ist hier -Achse mit
Stützvektor
BearbeitenAls Stützvektor wird mit
gewählt.
Eindimensionaler affiner Unterraum
BearbeitenDann ist der affine Unterraum eine Gerade, die um (also um eine Einheit in -Richtung) verschoben ist, mit der Gleichung:
- mit
Verschiebung eines Untervektorraumes
BearbeitenDie auf diese Weise entstehende verschobene Gerade ist ein affiner Unterraum, aber kein Untervektorraum von , da sie den Nullvektor nicht enthält.
Aufgaben
Bearbeiten- Sei eine Sei -Matrix über dem Körper . Zeigen Sie, dass die nicht-leere Lösungsmenge eines inhomogene linearen Gleichungssystems mit eine affiner Unterraum vom ist.
- Auf einem Vektorraum ein Skalarprodukt , ein Skalar und ein Vektor gegeben, Zeigen Sie, dass die Menge
- ein affiner Unterraum von , der kein Untervektorraum von ist. Geben Sie einen Stützvektor und einen Untervektorraum , für den gilt.
- Erläutern Sie, wie man einen affinen Unterraum zusammen mit einem Skalarprodukt eine Hilbertraum in zwei Halbräume zerlegen kann! Welcher Zusammenhang besteht zum maschinellen Lernen und der Verwendung einer Support Vector Machine
Dimensionsformel für affine Unterräume
BearbeitenSei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und seien zwei affine Unterräume von .
Dimensionsformle für den Verbindungsraum
BearbeitenIn beiden Fällen der folgenden Dimensionsformeln steht für den Verbindungsraum oder die affine Hülle von und mit:
Nicht disjunkter Fall der Dimensionsformel
BearbeitenFür den Fall, dass und nicht disjunkt ist, gilt die Dimensionsformel:
Der nicht disjunkte Fall gilt ebenfalls unter der Bedingung, dass einer der beiden Räume leer.
Disjunkter Fall der Dimensionsformel
BearbeitenFalls und jedoch disjunkt und nichtleer sind, lautet die Dimensionsformel
wobei aus der Darstellung (mit festem und dem zugeordneten linearen Unterraum von ) erhalten wird. Analog erhält man mit für ein festes .
Eigenschaften
BearbeitenDa in der Definition eines affinen Unterraums auch gewählt werden kann, ist jeder Untervektorraum gleichzeitig affiner Unterraum. Ein affiner Unterraum ist genau dann ein Untervektorraum, wenn er den Nullvektor enthält.
Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in Variablen über dem Körper ist ein affiner Unterraum von , falls die Lösungsmenge nicht leer ist. Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden. Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hülle von Vektoren oder, wie direkt aus der Definition folgt, mit Hilfe eines Stützvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden.
Literatur
Bearbeiten- Gerd Fischer: Lineare Algebra. ISBN 3-528-03217-0, S. 166 ff. (Auszug (Google)}).
- Siegfried Bosch: Lineare Algebra. ISBN 978-3-540-76437-3, S. 65 ff.
Siehe auch
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