Affines Schema/Moduln/Exaktheit/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln.

Dann liegt auf dem affinen Schema ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ zu ${}R$ die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\widetilde {N}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Moduln vor.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen