Algebra/Hyperfläche/Noethersche Normalisierung/Isomorphismus/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir nehmen zusätzlich an, dass der Körper unendlich viele Elemente besitzt. Wir betrachten lineare Automorphismen der Form ${}\varphi (X_{i})=X_{i}-c_{i}X_{d}$ für ${}i\leq n-1$ und ${}\varphi (X_{n})=X_{n}$. Es sei

${}F=\sum _{j=0}^{d}F_{j}\,$

die Zerlegung in die homogenen Komponenten. Wir setzen ${}X_{i}=\varphi (X_{i})+c_{i}X_{d}$. in ${}F$ ein, wobei aus einem Monom ${}a_{\nu }X^{\nu }$ vom maximalen Grad ${}d$ der Ausdruck

$a_{\nu }{\left(X_{1}+c_{1}X_{n}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(X_{n-1}+c_{1}X_{n}\right)}^{\nu _{n-1}}\cdot X_{n}^{\nu _{n}}$

wird. Wenn man dies ausmultipliziert, so erhält man einen Ausdruck ${}a_{\nu }c_{1}^{\nu _{1}}\cdots c_{n-1}^{\nu _{n-1}}X_{n}^{d}$ plus eine Summe von Monomen mit Koeffizienten, in denen neben ${}X_{n}$ zumindest noch eine weitere Variable vorkommt. Die Summe über alle Ausdrücke der Form ${}a_{\nu }c_{1}^{\nu _{1}}\cdots c_{n-1}^{\nu _{n-1}}X_{n}^{d}$ zu ${}\nu$ vom Grad ${}d$ stimmt dabei mit

$F_{d}(c_{1},\ldots ,c_{n-1},1)$

überein. Wegen ${}F_{d}\neq 0$ und da der Körper unendlich ist, gibt es Tupel ${}(c_{1},\ldots ,c_{n-1})$ derart, dass dies nicht ${}0$ ist.

Zur bewiesenen Aussage