Algebraerweiterung über Körper/Minimalpolynom und Einsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f.$

Dessen Kern ist nach Fakt und nach Fakt ein Hauptideal, sagen wir ${}{\mathfrak {a}}=(F)$, wobei wir ${}F$ als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom ${}P$ gehört zu ${}{\mathfrak {a}}$. Andererseits ist der Grad von ${}F$ größer oder gleich dem Grad von ${}P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist ${}P=F$, da beide normiert sind.

Zur bewiesenen Aussage