Wir betrachten den affinen Raum
und den projektiven Raum
. Die projektiven Koordinaten seien
, ein affiner Ausschnitt davon ist
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![{\displaystyle {}D_{+}(y_{0})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{1}}{y_{0}}},\ldots ,{\frac {y_{n}}{y_{0}}}]\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad434cb555411c362505183d10dffabcf6e3400f)
Wir setzen
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![{\displaystyle {}u_{i}={\frac {y_{i}}{y_{0}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7d2a83e2f2eea19039366ad1852d6a65bd0de1)
Dann sind die partiellen Ableitungen
auf die anderen affinen Stücke ausdehnbar. Mit
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![{\displaystyle {}D_{+}(y_{n})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{0}}{y_{n}}},\ldots ,{\frac {y_{n-1}}{y_{n}}}]\right)}=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {u_{j}}{u_{n}}},j\neq 0,n,\,{\frac {1}{u_{n}}}]\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68153b666bb9cb5b72b3629d78a83f0a488f34a4)
Dabei ist
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![{\displaystyle {}\partial _{u_{j}}{\left({\frac {u_{r}}{u_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {u_{r}}{u_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731be8a3aebb2bf22571bb29f5135d1894d72013)
Somit handelt es sich um eine Derivation auf dem projektiven Raum.
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![{\displaystyle {}y_{i}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{i}}{y_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{i}y_{r}}{y_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd754a0f13c1f16aa7b9d5203cb71bb9c0a97019)
Speziell ist für
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![{\displaystyle {}y_{0}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{0}}{y_{s}}}={\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{0}y_{r}}{y_{s}^{2}}}=-{\frac {1}{u_{s}}}\cdot {\frac {u_{r}}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,,\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cca9429ee36c5e7352ed6d68d8f618914245f7d)
das stimmt also mit
überein.