Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es sei ${}P=P_{1}P_{2}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in ${}L$ die Beziehung

   ${}0=P(f)=P_{1}(f)P_{2}(f)\,.$

   Da ${}L$ ein Körper ist, muss ein Faktor ${}0$ sein, sagen wir ${}P_{1}(f)=0$. Da aber ${}P$ unter allen Polynomen ${}\neq 0$, die ${}f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen ${}P$ und ${}P_{1}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss ${}P_{2}$ konstant (${}\neq 0$), also eine Einheit sein.

2. Wegen ${}Q(f)=0$ ist ${}Q$ aufgrund von Fakt ein Vielfaches des Minimalpolynoms ${}P$, sagen wir ${}Q=GP$. Da ${}Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da ${}P$ zumindest den Grad ${}1$ besitzt, muss ${}G$ konstant sein. Da schließlich sowohl ${}P$ als auch ${}Q$ normiert sind, ist ${}P=Q$.

Zur bewiesenen Aussage