Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

1. Ein Körper ${}K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom ${}F\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}K$ besitzt.
2. Es sei

   ${}F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$

   die homogenen Zerlegung von ${}F$ und sei ${}Z$ eine weitere Variable. Dann nennt man das homogene Polynom

   ${}{\hat {F}}=\sum _{i=0}^{d}F_{i}Z^{d-i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]\,$

   vom Grad ${}d$ die Homogenisierung von ${}F$.

3. Die Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
   1. ${}1\in S$
   2. Wenn ${}f,g\in S$, dann ist auch ${}fg\in S$

   gelten.

4. Man nennt das minimale positive Element ${}e\in M$, ${}e\geq 1$, die Multiplizität von ${}M$.
5. Eine Funktion

   $f\colon U\longrightarrow K$

   heißt algebraisch, wenn es für jeden Punkt ${}P\in U$ eine offene affine Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ derart gibt, dass die auf ${}V$ eingeschränkte Funktion ${}f{|}_{V}$ algebraisch im Punkt ${}P$ ist.

6. Die Abbildung

   ${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1},\,(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n}),$

   heißt die Projektion weg vom Punkt ${}(1,0,\ldots ,0)$.

Zur gelösten Aufgabe