Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt den Quotientenkörper ${}Q(K[X])$ zum Polynomring ${}K[X]$ den rationalen Funktionenkörper über ${}K$.
2. Eine affin-algebraische Teilmenge ${}W\subseteq V$ heißt eine irreduzible Komponente von ${}V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge ${}W\subset W'\subseteq V$ gibt.
3. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
4. Man nennt den ganzen Abschluss von ${}R$ im Quotientenkörper ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.
5. Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form

   ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$

   mit ${}e_{i}\geq 1$ für alle ${}i$.

6. Die Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ schneiden sich im Punkt ${}P\in V(F,G)$ transversal, wenn ${}P$ sowohl auf ${}V(F)$ als auch auf ${}V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt ${}P$ verschieden sind.

Zur gelösten Aufgabe