Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung

1. Eine Teilmenge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ im affinen Raum heißt affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie ${}F_{j}$, ${}j\in J$, von Polynomen ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.
2. Man nennt eine Abbildung ${}\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der Form

   ${}\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+(v_{1},\ldots ,v_{n})\,,$

   wobei ${}M$ eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation.

3. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal, wenn folgendes gilt: Falls ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$ ist für ein ${}n\in \mathbb {N}$, so ist bereits ${}f\in {\mathfrak {a}}$.
4. Man nennt den Unterring

   ${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

   die Nenneraufnahme zu ${}S$.

5. Zu ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man ${}R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von ${}V$.
6. Algebraisch im Punkt ${}P$ bedeutet, dass es Elemente ${}G,H\in R$ gibt mit ${}P\in D(H)\subseteq U$ und mit

   $f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$

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