Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Eine Teilmenge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ im affinen Raum heißt affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie ${}F_{j}$, ${}j\in J$, von Polynomen ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.
2. Zwei rationale Funktionen ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$, heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve ${}V(F)$, wenn

   ${}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,$

   ist und ${}(\varphi _{1},\varphi _{2})$ nicht konstant ist.

3. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich $0\neq 1$) enthält.
4. Das Element ${}x\in S$ heißt ganz (über ${}R$), wenn ${}x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${}R$ erfüllt.
5. Der Punkt ${}P$ heißt glatt, wenn

   ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$

   gilt.

6. Die Homogenität des Ideals ${}{\mathfrak {a}}$ bedeutet, dass für jedes ${}H\in {\mathfrak {a}}$ mit homogener Zerlegung ${}H=\sum _{i}H_{i}$ auch ${}H_{i}\in {\mathfrak {a}}$ ist für alle homogenen Bestandteile ${}H_{i}$.

Zur gelösten Aufgabe