Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein ${}K$-Algebrahomomorphismus. Dann induziert dies eine Abbildung

   $\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi .$

   Diese Abbildung ist stetig bezüglich der Zariski-Topologie.
2. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Es sei ${}B$ eine kommutative ${}R$-Algebra und

   $\varphi \colon M\longrightarrow B$

   ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}R$-Algebrahomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve ${}C=V(F)$. Es sei ${}P=(a,b)\in C$ ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$ und mit lokalem Ring ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
   2. Die Multiplizität von ${}P$ ist eins.
   3. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
   4. ${}R$ ist ein normaler Integritätsbereich.

Zur gelösten Aufgabe