Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,Q\in K[T]$ zwei Polynome. Dann gibt es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(Q,P)=0$. D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)$.
2. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}i\in I$, Polynome mit

   ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$

   Dann erzeugen die ${}F_{i}$ das Einheitsideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
3. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$, ${}m\leq d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und ${}L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt ${}P$, die keine Komponente von ${}V(F)$ sei. Dann ist

   ${}\operatorname {mult} _{P}(L,V(F))\geq m_{P}\,(F)=m\,,$

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