Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung


  1. Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
  2. Es sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte kommutative -Algebra mit -Spektrum . Es sei eine Restklassendarstellung von mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

    und dem Nullstellengebilde . Dann stiftet die Abbildung

    eine Bijektion zwischen und , die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.
  3. Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Für ein Element sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist ganz über .
    2. Es gibt eine -Unteralgebra von mit und die ein endlicher -Modul ist.
    3. Es gibt einen endlichen -Untermodul von , der einen Nichtnullteiler aus enthält, mit .