Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra mit ${}K$-Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

   $\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$

   und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Dann stiftet die Abbildung

   $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

   eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.
3. Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}x$ ist ganz über ${}R$.
   2. Es gibt eine ${}R$-Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$-Modul ist.
   3. Es gibt einen endlichen ${}R$-Untermodul ${}M$ von ${}S$, der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$.

Zur gelösten Aufgabe