Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also

   ${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

   (mit ${}\alpha$, ${}\beta$, ${}\gamma$ nicht alle ${}0$). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt. Dann gibt es Polynome ${}P_{1},P_{2},Q\in K[T]$, ${}Q\neq 0$, derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

   ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)$

   in ${}C$ liegt.
2. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$-Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$-Spektrum von ${}R$. Dann ist

   ${}\Gamma (V,{\mathcal {O}})=R\,.$

3. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ eine affine Varietät. Dann wird der projektive Abschluss durch ${}V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,

Zur gelösten Aufgabe