Algebraische Raumkurven/Gedrehte Kubik/Projektionen auf Ebenen/Beispiel

Es sei ${}C\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die „gedrehte Kubik“, also das Bild der monomialen Abbildung, die durch ${}t\mapsto (t,t^{2},t^{3})$ gegeben ist. Diese Kurve ist isomorph zu einer affinen Geraden und insbesondere glatt. Das beschreibende Ideal ist nach Fakt gleich

${}{\mathfrak {a}}=(Y-X^{2},Z-X^{3},Y^{3}-Z^{2},Z-XY)=(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$

Die beiden letzten Idealerzeuger sind dabei überflüssig, da sie sich durch die beiden anderen ausdrücken lassen. Insgesamt ist also

${}C=V(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$

Die Bilder von ${}C$ unter den drei verschiedenen Projektion sind

$C_{1}=V(Z^{2}-Y^{3}),\,C_{2}=V(Z-X^{3}),\,C_{3}=V(Y-X^{2}).$

Dabei sind ${}C_{2}$ und ${}C_{3}$ isomorph zur affinen Geraden (als Graph einer Abbildung), während ${}C_{1}$ die singuläre Neilsche Parabel ist.