Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal der endlich erzeugten ${}K$-Algebra ${}A$ und betrachte

$K\longrightarrow A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}=:L.$

Hier ist ${}L$ ein Körper und zugleich eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra. Nach Fakt muss also ${}L$ eine endliche ${}K$-Algebra sein. Da ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, muss ${}K=L$ sein.

Zur bewiesenen Aussage