Algebren von endlichem Typ über Körper/Radikal ist Durchschnitt von maximalen Idealen/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe ist jedes Radikal der Durchschnitt von Primidealen. Es genügt also zu zeigen, dass jedes Primideal in einer endlich erzeugten Algebra der Durchschnitt von maximalen Idealen ist. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal und ${}f\not \in {\mathfrak {p}}$. Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in der Nenneraufnahme ${}B:=A_{f}$. Es gibt ein (in ${}A_{f}$) maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subset A_{f}$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}A_{f}$. Wir fassen ${}A_{f}$ als endlich erzeugte ${}K$-Algebra auf und betrachten

$\varphi \colon A\longrightarrow A_{f}.$

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ und ${}f\not \in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$. Nach Fakt ist ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ maximal.

Zur bewiesenen Aussage