Allgemeine Quadrik/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Zu

${}F=aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}+dXY+eXZ+fYZ\,.$

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&2aX+dY+eZ&0&0&0\\B&2bY+dX+fZ&0&0&0\\C&2cZ+eX+fY&0&0&0\\A^{2}&a&2aX+dY+eZ&0&0\\AB&d&2bY+dX+fZ&2aX+dY+eZ&0\\AC&e&2cZ+eX+fY&0&2aX+dY+eZ\\B^{2}&b&0&2bY+dX+fZ&0\\BC&f&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ\\C^{2}&c&0&0&2cZ+eX+fY\end{pmatrix}}$

Eine Berechnung mit einem Computer-Algebra-System (Dank an Jonathan) zeigt, dass

${\begin{pmatrix}0\\-4abc-def+cd^{2}+be^{2}+af^{2}\\0\\0\\(-8abc+4cd^{2}+4be^{2}-4def+2af^{2})X+(4bcd-df^{2})Y+(4bce-ef^{2})Z\\(-4acd+2aef)X+(-8abc+2be^{2}-def+2af^{2})Y+(-2cde+e^{2}f)Z\\(-4abe+2adf)X+(-2bde+d^{2}f)Y+(-8abc+2cd^{2}-def+2af^{2})Z\\(8a^{2}c-2ae^{2})X+(4acd-de^{2})Y+(4ace-e^{3})Z\\(2ade-4a^{2}f)X+(d^{2}e-2adf)Y+(de^{2}-2aef)Z\\(8a^{2}b-2ad^{2})X+(4abd-d^{3})Y+(4abe-d^{2}e)Z\\\end{pmatrix}}$

eine Relation zwischen den Zeilen ist. Entsprechende Relationen gibt es in Bezug auf die dritte und vierte Zeile. Wenn man die quadratische Form mit der Gramschen Matrix

${\begin{pmatrix}a&d/2&e/2\\d/2&b&f/2\\e/2&f/2&c\end{pmatrix}}$

beschriebt, so ist die erste Zahl in der Relation die Determinante (bis auf Skalierung) dieser Matrix. Ihr Verschwinden charakterisiert den Entartungsfall, dass die projektive Lösungsmenge eine Gerade enthält.

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&2bY+dX+fZ&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&2cZ+eX+fY&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&a&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&d&2bY+dX+fZ&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0&0&0\\AC&e&2cZ+eX+fY&0&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&b&0&2bY+dX+fZ&0&0&0&0&0&0&0\\BC&f&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&c&0&0&2cZ+eX+fY&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&a&0&0&2aX+dY+eZ&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&d&a&0&2bY+dX+fZ&2aX+dY+eZ&0&0&0&0\\A^{2}C&0&e&0&a&2cZ+eX+fY&0&2aX+dY+eZ&0&0&0\\AB^{2}&0&b&d&0&0&2bY+dX+fZ&0&2aX+dY+eZ&0&0\\ABC&0&f&e&d&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ&0&2aX+dY+eZ&0\\AC^{2}&0&c&0&e&0&0&2cZ+eX+fY&0&0&2aX+dY+eZ\\B^{3}&0&0&b&0&0&0&0&2bY+dX+fZ&0&0\\B^{2}C&0&0&f&b&0&0&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ&0\\BC^{2}&0&0&c&f&0&0&0&0&2cZ+eX+fY&2bY+dX+fZ\\C^{3}&0&0&0&c&0&0&0&0&0&2cZ+eX+fY\end{pmatrix}}.$