Allgemeine lineare Gruppe/Natürliche Operation/Beispiel

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum über einem Körper ${}K$. Die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ operiert in natürlicher Weise linear auf ${}V$. Die Elemente ${}\varphi \in \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ sind ja definiert als ${}K$-Automorphismen von ${}V$ in sich und somit ist die Abbildung

$\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$

wohldefiniert. Da die Verknüpfung auf ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ einfach die Hintereinanderschaltung von Abbildungen ist, ergibt sich sofort

${}\varphi (\psi (v))=(\varphi \circ \psi )(v)\,,$

sodass es sich um eine Gruppenoperation handelt. Diese Operation besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt ${}0$ und ${}V\setminus \{0\}$, da es zu zwei von ${}0$ verschiedenen Vektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ stets einen Automorphismus gibt, der ${}v_{1}$ in ${}v_{2}$ überführt.