Allgemeine lineare Gruppe/Spezielle Untergruppe/Nebenklassen/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, es sei ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die allgemeine lineare Gruppe der invertierbaren Matrizen und

${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\,$

die Untergruppe der Matrizen mit Determinante ${}1$. Zeige, dass die Linksnebenklasse (und auch die Rechtsnebenklasse) zu ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit ${}\det M$ übereinstimmt.

Zeige auf möglichst viele Weisen, dass ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ein Normalteiler in ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.

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