Allgemeines Kugelvolumen/Oberfläche/Ableitung/Über Verdickung/Aufgabe

Die Ableitung des Flächeninhaltes ${}\pi r^{2}$ des Kreises mit Radius ${}r$ ist ${}2\pi r$, also der Umfang des Kreises. Die Ableitung des Volumens ${}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ der Kugel mit Radius ${}r$ ist ${}4\pi r^{2}$, also der Flächeninhalt der Kugeloberfläche. Es sei ${}T(r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Kugeloberfläche der allgemeinen Kugel ${}B(r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

1. Zeige (für ${}0<\epsilon <r$)

   ${}(T(r))(\epsilon )=U{\left(0,r+\epsilon \right)}\setminus B\left(0,r-\epsilon \right)\,.$

2. Zeige, dass

   ${\frac {\lambda ^{n}((T(r))(\epsilon ))}{2\epsilon }}$

   für ${}\epsilon \rightarrow 0$ gegen die Ableitung der Formel für die allgemeine ${}n$-dimensionale Kugel mit Radius ${}r$ konvergiert.

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