Alternierende Gruppe/Polynomring/3/Invariantenring/Beispiel

Die natürliche Operation der alternierenden Gruppe ${}A_{3}\cong \mathbb {Z} /(3)$ auf dem ${}K^{3}$ wird durch den Zykel

$e_{1}\longmapsto e_{2},\,e_{2}\longmapsto e_{3},\,e_{3}\longmapsto e_{1}$

erzeugt. Besitzt ${}K$ dritte primitive Einheitswurzeln, so kann man die zugehörige Matrix diagonalisieren und man erhält eine neue Basis mit den Eigenvektoren

$e_{1}+e_{2}+e_{3},\,e_{1}+\zeta e_{2}+\zeta ^{2}e_{3},\,e_{1}+\zeta ^{2}e_{2}+\zeta e_{3}.$

Wir führen die neuen Variablen

$U=X+Y+Z,\,V=X+\zeta Y+\zeta ^{2}Z,\,W=X+\zeta ^{2}Y+\zeta Z$

ein. In dieser Basis ist der erzeugende Automorphismus durch

$U\longmapsto U,\,V\longmapsto \zeta V,\,W\longmapsto \zeta ^{2}W$

gegeben und der Invariantenring ist in dieser Basis gleich

$K[U,V^{3},VW,W^{3}].$

Die einzige Relation ist durch ${}V^{3}W^{3}=(VW)^{3}$ gegeben.

Wie sieht der Unterring der symmetrischen Polynome aus? Die Transposition ${}Y\leftrightarrow Z$ lässt ${}U$ unverändert und vertauscht ${}V$ und ${}W$. Das bedeutet für den alternierenden Invariantenring, dass ${}V^{3}$ und ${}W^{3}$ vertauscht werden. Der symmetrische Invariantenring ist daher

$K[U,VW,V^{3}+W^{3}].$

Dabei sind

${}VW=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\zeta XY+\zeta ^{2}XY+\zeta XZ+\zeta ^{2}XZ+\zeta YZ+\zeta ^{2}YZ\,,$

${}V^{3}=X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+6XYZ+3\xi ^{2}XY^{2}+3\xi X^{2}Y+3\xi XZ^{2}+3\xi ^{2}X^{2}Z+3\xi ^{2}YZ^{2}+3\xi Y^{2}Z\,$

und

${}W^{3}=X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+6XYZ+3\xi XY^{2}+3\xi ^{2}X^{2}Y+3\xi ^{2}XZ^{2}+3\xi X^{2}Z+3\xi YZ^{2}+3\xi ^{2}Y^{2}Z\,.$

Für die Vandermondesche Determinante gilt

${}{\begin{aligned}\triangle &=(Y-X)(Z-X)(Z-Y)\\&=XY^{2}-X^{2}Y+X^{2}Z-XZ^{2}+YZ^{2}-Y^{2}Z\\&={\frac {1}{3{\left(\xi ^{2}-\xi \right)}}}{\left(V^{3}-W^{3}\right)}.\end{aligned}}$