Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Dann ist die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

2. Es sei ${}{\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
3. Es sei

   ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$

   eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

   ${}{\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}\,$

   konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe ${}g$ dargestellte Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt ${}z\in U{\left(a,R\right)}$ differenzierbar mit

   ${}f'(z)={\tilde {g}}(z)\,.$

Zur gelösten Aufgabe