Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/37/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.
2. Es sei ${}T$ eine Menge und sei

   $g_{k}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   eine Funktionenfolge mit

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert <\infty \,.$

   Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

3. Es sei ${}a<b$ und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

   ${}f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe