Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/49/Aufgabe/Lösung

1. Die Intervalle ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, ${}n\geq 1$, mit den Grenzen

   $a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$

   definieren eine Intervallschachtelung.
2. Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe ${}s$. Es sei ${}J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem ${}j\in J$ sei eine Teilmenge ${}I_{j}\subseteq I$ gegeben mit ${}I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und ${}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für ${}j\neq j'$. Dann sind die Teilfamilien ${}a_{i}$, ${}i\in I_{j}$, summierbar und für ihre Summen ${}s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie ${}s_{j}$, ${}j\in J$, summierbar ist mit

   ${}s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$

3. Zu jedem Punkt ${}x\in I$ gibt es ein ${}c\in I$ mit

   $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Zur gelösten Aufgabe