Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist ${}f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

   ${}L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$

2. Die offene Menge ${}G\subseteq V$ enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsgerade. Ferner gelte

   ${}\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq b\,$

   für alle ${}P\in G$. Dann gilt für ${}P,Q\in G$ die Abschätzung

   ${}\Vert {\varphi (Q)-\varphi (P)}\Vert \leq \Vert {Q-P}\Vert \cdot b\,.$

3. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und seien

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   und

   $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   stetig differenzierbare Funktionen. Es sei ${}b\in \mathbb {R}$ und ${}M=f^{-1}(b)$ die Faser von ${}f$ über ${}b$. Die eingeschränkte Funktion ${}h{|}_{M}$ besitze im Punkt ${}a\in M$ ein lokales Extremum auf ${}M$ und ${}a$ sei ein regulärer Punkt von ${}f$. Dann ist ${}\left(Dh\right)_{a}$ ein Vielfaches von ${}\left(Df\right)_{a}$, d.h. es gibt ein ${}\lambda \in \mathbb {R}$ mit

   ${}\left(Dh\right)_{a}=\lambda \left(Df\right)_{a}\,.$

Zur gelösten Aufgabe