Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Die Länge des Graphen von ${}f$ ist gleich

   $\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.$

2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

   $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}P\in G$ mit ${}\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.

   1. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Maximum in ${}P$.
   2. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Minimum in ${}P$.
   3. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt ${}f$ in ${}P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

   $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

   ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben. Dann ist eine stetige Abbildung

   $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

   auf einem Intervall ${}J\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems (insbesondere muss ${}v$ differenzierbar sein)

   $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

   wenn ${}v$ die Integralgleichung

   $v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds$

   erfüllt.

Zur gelösten Aufgabe