Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Dann gilt die Abschätzung

   ${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

   für alle ${}v,w\in V$.
2. Zu ${}w\in \mathbb {R} ^{n}$ und einer Lösung

   $\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}$

   der eindimensionalen Differentialgleichung

   $z'=g(t,zw)\cdot z{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1$

   ist

   $v(t)=\alpha (t)\cdot w$

   eine Lösung des Anfangswertproblems

   $v'=F(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w.$

3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei

   $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine Funktion, die im Punkt ${}P\in G$ ein lokales Extremum besitzt. Wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist, so ist

   ${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe