Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe/Lösung

Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen ist klar. Das neutrale Element des Maximums ist die ${}1$ und das neutrale Element des Minimums ist ${}n$, da ja nur Elemente aus ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen (wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an)

${}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))\,$

bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in ${}b$ und ${}c$ symmetrisch ist, können wir ${}b\leq c$ annehmen. Bei

${}a\leq b\leq c\,$

ergibt sich links ${}a$ und rechts ebenfalls ${}\operatorname {max} (a,a)=a$. Bei

${}b\leq a\leq c\,$

ergibt sich links

${}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=a\,$

und rechts ebenfalls

${}\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,a)=a\,.$

Bei

${}b\leq c\leq a\,$

ergibt sich links

${}\operatorname {min} (a,\operatorname {max} (b,c))=\operatorname {min} (a,c)=c\,$

und rechts ebenfalls

${}\operatorname {max} (\operatorname {min} (a,b),\operatorname {min} (a,c))=\operatorname {max} (b,c)=c\,.$

Zur gelösten Aufgabe