Anfangswertproblem/1/y' ist ty+1/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Der Potenzreihenansatz

{}y(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+a_{5}t^{5}+\ldots \,

führt eingesetzt in die Differentialgleichung auf

{}a_{1}+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+4a_{4}t^{3}+5a_{5}t^{4}+6a_{6}t^{5}+\ldots =1+a_{0}t+a_{1}t^{2}+a_{2}t^{3}+a_{3}t^{4}+a_{4}t^{5}+a_{5}t^{6}+\ldots \,.

Aufgrund der Anfangsbedingung ist

{}a_{0}=0\,.

Der Vergleich des konstanten Termes führt auf

{}a_{1}=1\,.

Der Vergleich des linearen Termes führt auf

{}2a_{2}=a_{0}=0\,,

also ${}a_{2}=0$ . Der Vergleich des quadratischen Termes führt auf

{}3a_{3}=a_{1}\,,

also ${}a_{3}={\frac {1}{3}}$ . Der Vergleich des Termes zu ${}t^{3}$ führt auf

{}4a_{4}=a_{2}=0\,,

also ${}a_{4}=0$ . Der Vergleich des Termes zu ${}t^{4}$ führt auf

{}5a_{5}=a_{3}\,,

also ${}a_{5}={\frac {1}{15}}$ . Somit ist die polynomiale Approximation bis zur Ordnung ${}5$ der Lösung gleih

t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {1}{15}}t^{5}.