Anfangswertproblem/1/y' ist y/Streckenzugverfahren/Limes/Aufgabe/Kommentar

Beim Polygonstreckenzugverfahren, welches auch explizites Eulerverfahren genannt wird, approximieren wir die Lösung einer Differentialgleichung durch einen Streckenzug, der durch eine Punktfolge ${}(P_{0},P_{1},\dots )$ gegeben ist. Die Punkte sind rekursiv durch

$P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})$

definiert, wobei wir das Vektorfeld ${}F$ mittels ${}y'=y=F(t,y)$ definieren. Hier liegt die Besonderheit vor, dass das Vektorfeld ${}F$ nur von ${}y$ abhängt, nicht aber von ${}t$. Die Beschreibung der Punktfolge im Polygonstreckenzugverfahren vereinfacht sich daher zu

$P_{n+1}=P_{n}+sF(t_{0}+ns,P_{n})=P_{n}+sP_{n}=(1+s)P_{n}.$

Diese rekursive Darstellung können wir direkt in die explizite Darstellung

$P_{n}=(1+s)^{n}P_{0}$

umwandeln. Der Punkt ${}P_{n}$ wird hierbei als Approximation der Lösung ${}y$ zum Zeitpunkt ${}t_{0}+ns$ interpretiert.

Mit der Startbedingung ${}y(t_{0})=1$, ${}t_{0}=0$, und fixierter Schrittweite ${}s={\tfrac {1}{k}}$ erhalten wir ${}P_{0}=1$ und ${}P_{n}=(1+{\tfrac {1}{k}})^{n}$.

Insbesondere gilt nach Bemerkung für den Punkt ${}P_{k}$ (also zum Zeitpunkt ${}t_{0}+ks=1$) im Grenzwert

$P_{k}=(1+{\tfrac {1}{k}})^{k}\xrightarrow {k\to \infty } \mathrm {e} =\exp(1).$

Falls wir also die Schrittweite gegen Null laufen lassen, so konvergiert (wenn auch nicht sehr schnell) die durch den Streckenzug gegebene Approximation tatsächlich gegen die erwartete Lösung ${}y(t)=\exp(t)$, falls ${}t=1$.

Andererseits stellen wir fest, dass bei fixiertem ${}k$ und wachsendem ${}n$ der Punkt ${}P_{n}$ von der erwarteten Lösung ${}y(t_{0}+ns)=\exp({\tfrac {n}{k}})$ zunehmend abweicht. Das Polygonstreckenzugverfahren liefert daher nur für eine gewisse Zeit eine gute Approximation der Exponentialfunktion.

Die Diskrepanz lässt sich beispielsweise anhand von Zinsrechnung verstehen. Verzinst man ein Kapital mit jährlicher Verzinsung (große Schrittweite), so wächst das Kapital weniger stark als bei einer monatlichen Verzinsung zu gleichem Zinssatz (kleine Schrittweite). Auch bei monatlicher Verzinsung fällt das Wachstum noch geringer als bei stetiger Verzinsung aus.

Zur kommentierten Aufgabe