Angeordneter Körper/1 und 0/Aufgabe/Lösung

Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten

$1>0{\text{ oder }}1=0{\text{ oder }}1<0.$

Aufgrund der Körperaxiome ist ${}1\neq 0$. Wir müssen also nur noch die Möglichkeit ${}1<0$ zum Widerspruch führen. Nehmen wir ${}1<0$ an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig ${}-1$ addieren und erhält ${}0<-1$. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

${}0<(-1)(-1)=1\,,$

also ist zugleich ${}1>0$,

ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe