Angeordneter Körper/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Alternierend/1/Beispiel

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann ist die alternierende Folge

${}x_{n}=(-1)^{n}\,$

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte ${}1$ und ${}-1$ vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass ${}x\geq 0$ der Grenzwert sei. Dann gilt für positives ${}\epsilon <1$ und jedes ungerade ${}n$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert =1+x\geq 1>\epsilon \,,$

so dass es Folgenwerte außerhalb dieser ${}\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.