Angeordneter Körper/Betragsungleichung/Intervalle/2/Aufgabe/Lösung

Wir analysieren die Ungleichung

${}\vert {7x-5}\vert >\vert {6x-7}\vert \,$

abhängig davon, ob die Beträge positiv oder negativ zu nehmen sind. Es ist

${}7x-5\geq 0\,$

genau dann, wenn ${}x\geq {\frac {5}{7}}$ ist, und es ist

${}6x-7\geq 0\,$

genau dann, wenn ${}x\geq {\frac {7}{6}}$ ist. Wegen ${}{\frac {5}{7}}<{\frac {7}{6}}$ führt dies auf die folgenden Fälle.

1. ${}x<{\frac {5}{7}}\,.$

   Dann muss man die Bedingung

   ${}-(7x-5)>-(6x-7)\,$

   betrachten, also

   ${}7x-5<6x-7\,$

   bzw.

   ${}x<-2\,.$

   Daher gehört ${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x<-2\right\}}$ zur Lösungsmenge.

2. ${}{\frac {5}{7}}\leq x\leq {\frac {7}{6}}\,.$

   Dann muss man die Bedingung

   ${}7x-5>-(6x-7)\,$

   betrachten, also

   ${}7x-5>-6x+7\,$

   bzw.

   ${}13x>12\,,$

   also

   ${}x>{\frac {12}{13}}\,.$

   Wegen

   ${}{\frac {5}{7}}<{\frac {12}{13}}<{\frac {7}{6}}\,$

   führt dies auf die Lösungen ${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid {\frac {12}{13}}<x\leq {\frac {7}{6}}\right\}}$.

3. ${}x>{\frac {7}{6}}\,.$

   Dann muss man die Bedingung

   ${}7x-5>6x-7\,$

   betrachten, die auf

   ${}x>-2\,,$

   führt. Also in diesem Fall automatisch erfüllt ist. Daher gehört ${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x\geq {\frac {7}{6}}\right\}}$ zur Lösungsmenge.

Die gesamte Lösungsmenge besteht daher aus allen ${}x\in \mathbb {Q}$ mit ${}x<-2$ oder

${}x>{\frac {12}{13}}$.

Zur gelösten Aufgabe