Angeordneter Körper/Cauchyfolge/Charakterisierung mit n0 und n/Fakt/Beweis

Beweis

Eine Cauchy-Folge erfüllt auch die angegebene Bedingung, da man ja ${}n_{0}=n$ setzen kann.
Für die Umkehrung sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die Bedingung der Aussage gilt insbesondere für ${}\epsilon /2$, d.h. es gibt ein ${}n_{0}$ derart, dass für jedes ${}m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Damit gilt aufgrund der Dreiecksungleichung für beliebige ${}m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \vert {x_{m}-x_{n_{0}}}\vert +\vert {x_{n_{0}}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,,$

sodass eine Cauchy-Folge vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage