Angeordneter Körper/Folgen/Nullfolgen als Unterraum/1 durch n und 1 durch n^2/Aufgabe/Lösung


a) Wir müssen zeigen, dass nicht leer ist und bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Die konstante Nullfolge, also das Nullelement von , ist offenbar eine Folge, die gegen konvergiert.

Es seien und zwei Folgen aus , also zwei Nullfolgen. Wir müssen zeigen, dass auch die Summe gegen null konvergiert. Es sei dazu vorgegeben. Für gibt es, da die beiden Folgen gegen konvergieren, natürliche Zahlen und mit

und

Aufgrund der Dreiecksungleichung für den Betrag gilt daher für die Abschätzung

also liegt eine Nullfolge vor.

Zum Nachweis der Abgeschlossenheit unter der skalaren Multiplikation sei konvergent und gegeben. Wir müssen zeigen, dass die Folge , gegen konvergiert. Bei ist dies die Nullfolge, sei also . Wegen

können wir annehmen, dass positiv ist. Es sei vorgegeben. Dann ist ebenfalls positiv und aufgrund der Konvergenz von gegen gibt es ein derart, dass für die Beziehung

gilt. Für gilt daher wegen

der Multiplikativität des Betrags

so dass auch diese Folge gegen

konvergiert.

b) Die beiden Folgen sind linear unabhängig. Sie sind beide nicht die konstante Nullfolge. Sie wären also nur dann linear abhängig, wenn die eine Folge ein skalares Vielfaches der anderen wäre. Nehmen wir also an, dass für ein die Beziehung

für alle gilt. Für bedeutet dies insbesondere

Dies bedeutet und , was

nicht zugleich erfüllt sein kann.