Angeordneter Körper/Folgen/Vergleichsregeln/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann ist

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Daraus folgt insbesondere, dass bei einer konvergenten Folge, für die ${}x_{n}\geq a$ für jedes Folgenglied gilt, auch der Limes ${}\geq a$ sein muss (die entsprechende Aussage für ${}>$ statt ${}\geq$ gilt nicht, wie die Folge der Stammbrüche zeigt). Ebenso folgt, dass zu einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in [a,b]$, die konvergiert, auch der Grenzwert zu dem abgeschlossenen Intervall gehören muss.

Die folgende Aussage nennt man das Quetschkriterium.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte

$x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$.

Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$