Es sei
ein
angeordneter Körper
und
.
Es sei
ein positiver Startwert und
die zugehörige
Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für
ist
-
![{\displaystyle {}x_{n}^{2}\geq c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4b07a2d06abff0901460ffb8571fbaf54a8570)
und
-
![{\displaystyle {}{\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}\leq c\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05640960c35a5d87efa5fbcfa7cb9a5247ba4933)
- Die Heron-Folge ist ab dem ersten Glied
fallend.
- Es ist
-
![{\displaystyle {}[{\frac {c}{x_{n+1}}},x_{n+1}]\subseteq [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152225460dba1ea713c6ad6f2115fe1becc90949)
für
.
- Für die Intervalllängen
-
![{\displaystyle {}\ell _{n}:=x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2427384ec57fef0edb7c727fa822ed1e8969bab)
gilt die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\ell _{n+1}={\frac {1}{4x_{n+1}}}\ell _{n}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180982028dbbab4f489d008f148ecdb2550e6a1a)
und bei
gilt insbesondere
-
![{\displaystyle {}\ell _{n+1}\leq {\frac {1}{4}}\ell _{n}^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240c036f7a5b6821e3d573b0bc845db06936d2f5)