Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Folge keine Nullfolge. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es unendlich viele Folgenglieder mit

${}\vert {x_{n}}\vert >\epsilon \,$

gibt. Dann gibt es auch unendlich viele Folgenglieder mit

${}x_{n}>\epsilon \,$

oder mit

${}x_{n}<-\epsilon \,.$

Nehmen wir das erste an. Wegen der Cauchy-Eigenschaft für ${}{\frac {\epsilon }{2}}$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

für alle ${}m,n\geq n_{0}$ gilt. Wenn man die beiden Aussagen verbindet, so gilt für ${}m\geq n_{0}$ und einem ${}x_{n}$ mit

${}x_{n}>\epsilon \,$

unter Verwendung von Fakt  (8) die Abschätzung

${}x_{m}=x_{n}+x_{m}-x_{n}\geq x_{n}-\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{2}}={\frac {\epsilon }{2}}\,.$

Dieses wählen wir als ${}\delta$.

Zur bewiesenen Aussage