Angeordneter Körper/Rationale Folgen/Standardtrick/Beispiel

Es sei ${}r\leq s$. Bei einer Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{r}n^{r}+a_{r-1}n^{r-1}+\cdots +a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{b_{s}n^{s}+b_{s-1}n^{s-1}+\cdots +b_{2}n^{2}+b_{1}n+b_{0}}}\,$

mit ${}a_{i},b_{j}$ in einem archimedisch angeordneten Körper und ${}a_{r},b_{s}\neq 0$ kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit ${}n^{-s}$ und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung

${}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}n^{r}+a_{r-1}n^{r-1}+\cdots +a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {b_{s}n^{s}+b_{s-1}n^{s-1}+\cdots +b_{2}n^{2}+b_{1}n+b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}\\&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}n^{r}}{n^{s}}}+{\frac {a_{r-1}n^{r-1}}{n^{s}}}+\cdots +{\frac {a_{2}n^{2}}{n^{s}}}+{\frac {a_{1}n}{n^{s}}}+{\frac {a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,{\frac {b_{s}n^{s}}{n^{s}}}+{\frac {b_{s-1}n^{s-1}}{n^{s}}}+\cdots +{\frac {b_{2}n^{2}}{n^{s}}}+{\frac {b_{1}n}{n^{s}}}+{\frac {b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}\\&={\frac {\,\,\,{\frac {a_{r}}{n^{s-r}}}+{\frac {a_{r-1}}{n^{s-r-1}}}+\cdots +{\frac {a_{2}}{n^{s-2}}}+{\frac {a_{1}}{n^{s-1}}}+{\frac {a_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}{\,\,\,b_{s}+{\frac {b_{s-1}}{n}}+\cdots +{\frac {b_{2}}{n^{s-2}}}+{\frac {b_{1}}{n^{s-1}}}+{\frac {b_{0}}{n^{s}}}\,\,\,}}.\end{aligned}}$

Nach Fakt  (1) konvergiert der Nenner gegen ${}b_{s}$. da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei ${}s>r$ gegen ${}0$ und bei ${}s=r$ gegen ${}a_{r}$. Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge geben ${}{\frac {a_{r}}{b_{r}}}$.